Séminaire du 26 novembre 2021

Courbes à courbure totale localement bornée et leurs applications en géométrie discrète

Etienne Le Quentrec

Résumé: Lorsqu'un objet est pris en photo, l'image obtenue est pixelisée. La position d'un point sur une telle image est décrite par des coordonnées entières contrairement à celle d'un point de l'objet initial décrite par des coordonnées réelles. Ce passage de la géométrie euclidienne usuelle décrivant l'objet initial à la géométrie discrète décrivant l'image obtenue, appelé discrétisation, cause une importante perte d'informations. Si la résolution de l'image discrète est trop faible par rapport au niveau de détails de l'objet initial, l'information topologique et les quantités géométriques peuvent être perdues. Il est alors nécessaire d'imposer certaines hypothèses à cet objet réel pour permettre de reconstituer ces informations.

En modélisant le processus de discrétisation, il est possible de garantir la reconstruction de la topologie et des quantités géométriques d'objets vérifiant certaines hypothèses. Cependant, actuellement en géométrie discrète, les hypothèses sur les objets réels garantissant la reconstruction de l'ensemble de ces informations sont assez restrictives et ne permettent pas d'inclure simultanément les formes dont le bord est une courbe régulière et celles dont le bord est un polygone.

Afin de traiter simultanément ces deux familles de formes, nous proposons une nouvelle hypothèse reposant sur la notion de courbure totale introduite par Milnor en 1950. Elle consiste à limiter localement cette courbure totale sur le bord de l'objet réel. Cette hypothèse, incluant des formes à bord régulier ou polygonal, garantit la reconstruction de la topologie et permet de majorer les erreurs des estimateurs discrets de quantités géométriques.